梅森素数:数学宝库中的钻石

2021-02-23 14:02   来源: 日本京都大学理学部    阅读次数:2038

“梅森素数”(Mersenne prime)是指形如2^P-1的素数,如2^2-1=3、2^3-1=7、2^5-1=31等。早在2300年前,古希腊数学家欧几里得用反证法证明素数有无穷多个;他认为,其中一些素数可写成2^P-1的形式。由于2^P-1型素数具有独特的性质和无穷的魅力,千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究。

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17 世纪法国数学家马林·梅森是他们中最杰出的探究者。由于他学识渊博、才华横溢、为人热情以及最早系统而深入地研究2^P-1型素数,为了纪念他,数学界将这种特殊形式的素数命名为“梅森素数”。迄今为止,人类仅发现51个梅森素数;这种素数珍奇而迷人,因而被人们誉为“数学宝库中的钻石”。梅森素数历来是数论研究的一项重要内容,也是当今科学探索的热点和难点之一。

2^P-1貌似简单,但探究难度却很大;当指数P值较大时,不仅需要高深的理论和纯熟的技巧,而且还需要进行艰巨的计算。1772年,有“数学英雄”美名的瑞士数学大师莱昂哈德·欧拉在双目失明的情况下,靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数。这个具有10位的素数,堪称当时世界上已知的最大素数。

在“手算笔录”的年代,人们历尽艰辛,仅找到12个梅森素数。而计算机的产生加速了梅森素数探究进程。1952年,美国数学家拉婓尔·鲁滨逊等人编制了一个梅森素数计算程序,使用SWAC型计算机在短短的几个月内,就找到了5个梅森素数:2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。

网格(Grid)这一崭新技术的出现使梅森素数的探究如虎添翼。1996年初,美国数学家、程序设计师乔治·沃特曼编制了一个新的梅森素数计算程序,并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用;这就是举世闻名的“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目,也是世界上第一个基于互联网的网格计算项目。网格计算就是通过利用大量异构计算机(通常为桌面计算机)的未用资源,为解决大规模的计算问题提供一个新的模型。

为了激励人们寻找梅森素数和促进网格计算发展,总部设在美国的电子前沿基金会(EFF)于1999年设立了专项奖金悬赏梅森素数的发现者。它规定向第一个通过GIMPS项目找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元;后面的奖金依次为:超过1000万位数,10万美元;超过1亿位数,15万美元;超过10亿位数,25万美元。不过,绝大多数人参与GIMPS项目并不是为了金钱,而是出于好奇心、荣誉感和探索精神。

现在只要人们去GIMPS的主页下载一个名为“Prime95”免费程序,就可以立即参加GIMPS项目来搜寻梅森素数了。目前,世界上有190多个国家和地区超过23万在线网民参与GIMPS项目,并动用了超过226万核中央处理器(CPU)联网来寻找梅森素数。另外,全球最大的网格计算平台——BOINC的参与者也可加入GIMPS项目。可见,梅森素数的探究非常火爆;这在数学史上前所未有,在科学史上也极为罕见。

前不久,来自美国佛罗里达州的互联网专家、数学爱好者帕特里克·拉罗什利用GIMPS项目,成功发现第51个梅森素数——2^82589933-1;该数有24862048位,它是当今人类发现的最大素数。如果用普通字号(指word文档默认的字体字号)将这个梅森素数打印下来,其长度将超过100公里!

特别值得一提的是,在梅森素数的素性判断方面,法国数学家爱德华·鲁卡斯和美国数学家德里克·雷默都做出了重要贡献;以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。在梅森素数分布研究方面,中国数学家、语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式;这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。

梅森素数在当代具有重大的理论意义和丰富的实用价值。它的探究推动了“数学皇后”——数论的研究,促进了计算技术、密码技术、程序设计技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。顺带一提,近百年来,人们发现的“最大素数”几乎都是梅森素数。

此外,梅森素数常用来测试计算机硬件运算是否正确。例如前不久,德国一名GIMPS项目参与者发现:当Intel Skylake处理器在执行Prime95应用来搜索梅森素数时,运算到指数P=14942209就出现了触发系统死机的漏洞(Bug)。有关专家认为:这个Bug轻则导致程序冻结,重则引发系统崩溃。美国英特尔公司已承认存在该Bug,并做了修复。

由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持,所以许多科学家认为:梅森素数的研究成果,在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学协会主席、《素数的音乐》一书作者马科斯·索托伊甚至认为:梅森素数探究可以挑战人类科技与智慧极限,其成果是一个国家科技创新能力的重要标志之一。完全可以相信,梅森素数将会吸引更多的探究者,今后的探究成果也将会越来越多。

责任编辑:萤莹香草钟
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